Ausmultiplizieren, Ausklammern, Binome. Eine Bewegung in zwei Richtungen. Alles, was du für die Arbeit brauchst, auf einer Seite.
01
Vorstellen
Bevor gerechnet wird: Was ist das hier überhaupt? Ein Term kann zwei Formen haben. Alles auf dieser Seite wechselt zwischen diesen beiden Formen hin und her, ohne dass sich der Wert ändert.
Produkt(x + 3)(x + 2) zuletzt Mal
ausmultiplizieren →← faktorisieren
Summex² + 5x + 6 zuletzt Plus
Form ändern, Wert bewahren. Jede Umformung hier ist erlaubt, weil der Wert gleich bleibt. Das kannst du immer mit einer Probe prüfen.
Die drei SchablonenBinomische Formeln
1. Formel · Plus(a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Formel · Minus(a − b)² = a² − 2ab + b²
3. Formel · Plus-Minus(a + b)(a − b) = a² − b²
a und b sind Boxen. In eine Box darf alles hinein: x, 5x, 0,4x, xy⁴. Die Schablone bleibt immer gleich.
Rückwärts fragst du: Was mal sich selbst ergibt das? Zahl und Buchstaben getrennt: 49y² → 7y, 6,25 → 2,5, x²y⁸ → xy⁴ (Hochzahl halbieren).
Ein Quadrat ist nur möglich, wenn die Zahl eine Quadratzahl ist und alle Hochzahlen gerade sind. 8x² ist kein Quadrat, x³ auch nicht.
W6 · Binom vorwärtsDie drei Schablonen, hergeleitet
Jede binomische Formel ist nur W3 Jeder mit jedem plus W4 Zusammenfassen. Die Formel ist die Abkürzung.
Die größte Falle: (a + b)² ≠ a² + b². Der Mischterm 2ab fehlt sonst. Probe mit a = 3, b = 4: (3 + 4)² = 49, aber 9 + 16 = 25.
W7 · Binom rückwärtsSumme → Produkt
Drei Summanden (1. oder 2. Formel): Zwei davon müssen Quadrate mit Plus sein. Der dritte muss genau 2 · a · b sein. Sein Vorzeichen entscheidet: Plus → (a + b)², Minus → (a − b)².
Zwei Summanden (3. Formel): Beide Quadrate, Minus dazwischen → a² − b² = (a + b)(a − b).
a² + b² (Plus dazwischen) lässt sich nicht zerlegen. Und wenn der Mischterm nicht 2ab ist, ist es kein Binom.
W8 · ErgänzenDas fehlende Stück finden
a aus dem Quadrat, b aus dem Mischterm: b = Mischterm : (2 · a). Das fehlende Stück ist b².
W9 · KettenErst ausklammern, dann Binom
Oft passt eine Schablone erst, nachdem der gemeinsame Faktor raus ist. Reihenfolge: 1. Ausklammern, 2. Binom erkennen, 3. Prüfen, ob in einer Klammer noch etwas steckt.
W10 · VorrangVereinfachen ohne Chaos
Reihenfolge: ① Binome in Nebenrechnung ausrechnen. ② Ergebnis in Klammern zurückschreiben. ③ Faktor oder Minus vor der Klammer verteilen. ④ Gleiche Sorten zusammenfassen.
Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer. Darum bleibt die Klammer stehen, bis das Binom fertig ist.
W11 · ProbePrüfen ohne Lehrer
Setze eine Zahl ein, links und rechts. Kommt dasselbe heraus, stimmt die Umformung (fast sicher). Nimm keine 0 oder 1, die verstecken Fehler.
T2 · FlächeDie 3. Formel als Bild (S. 36, Aufgabe 1)
1 b) Fläche als Produkt
A = (a + b) · (a − b). Mit a = 10 cm und b = 4 cm: 14 cm · 6 cm = 84 cm².
1 d) Fläche als Summe
A = a² − b²: das Quadrat ohne die kleine Ecke. 100 cm² − 16 cm² = 84 cm² ✓
1 e) Malkreuz
(a + b)(a − b): Felder a², −ab, ab, −b². Die Mischfelder heben sich auf → a² − b². Beide Darstellungen sind äquivalent.
1 f) Der Satz
„Ein Rechteck mit den Seitenlängen (a + b) und (a − b) besitzt den gleichen Flächeninhalt wie ein Quadrat mit der Seite a, aus dem ein Quadrat mit der Seite b herausgeschnitten wurde.“
2) Zeige mit Multiplikation: (a + b)(a − b) = a² − b²
T3 · LückenRätsel rückwärts (S. 37, Aufgabe 3)
Strategie: Schablone hinschreiben, dann die bekannten Teile einsetzen. Aus a² findest du a, aus 2ab findest du b.
Prüfungs-CheckDas musst du können
0 nicht begonnen · 1 erkannt · 2 mit Hilfe · 3 selbstständig · 4 Transfer · 5 kann es erklären
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Werkstatt
Hier fasst du die Schablonen und Umformungen selbst an. Schieben, einrasten lassen, auseinanderziehen, zusammensetzen.
9.1 · Schablonen-SchieberPasst die Schablone?
Zieh eine Schablone auf den Term (oder tipp sie an). Passt sie, rastet sie ein und zeigt dir a und b. Passt sie nicht, springt sie zurück und sagt dir, warum.
Term · Schablone hierher ziehen
9.2 · AuseinanderziehenAuseinander und wieder zusammen
Jeder Term hat versteckte Teile. Zieh ihn Stufe für Stufe auseinander, bis du die Atome siehst. Rückwärts schiebt er sich wieder zusammen. Der Wert ändert sich nie.
9.3 · Alle Umformungen einzelnDie Bewegungen
Jede Umformung geht in beide Richtungen. → zieht auseinander oder formt um, ← setzt wieder zusammen.
9.4 · Ketten bauenUmformungen zusammensetzen
Große Aufgaben sind Ketten aus kleinen Bewegungen. Wähle einen Term und dann die nächste Bewegung. Nur was gerade erlaubt ist, kannst du antippen. Mit ← gehst du einen Schritt zurück.